Question

已知函數(shù)m（x）=log₄（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）
（1）當(dāng)x＞0時，F(xiàn)（x）=m（x），且F（x）為R上的奇函數(shù)，求x＜0時F（x）的表達式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）為偶函數(shù)，求k的值；
（3）對（2）中的函數(shù)f（x），設(shè)g（x）=log₄（2^x-

4

3

a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x＜0，則-x＞0，運用已知區(qū)間上的解析式，結(jié)合奇函數(shù)的定義，即可得到所求；
（2）運用偶函數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡整理，即可求得k；
（3）函數(shù)的圖象有公共點，即為方程f（x）=g（x）有解，化簡方程，再由指數(shù)函數(shù)的值域，即可求得a的范圍．

解答： 解：（1）令x＜0，則-x＞0，
由于當(dāng)x＞0時，F(xiàn)（x）=log₄（4^x+1），
則F（-x）=log₄（4^-x+1），
又F（x）為R上的奇函數(shù)，則F（-x）=-F（x），
則有x＜0時，F(xiàn)（x）=-log₄（4^-x+1）；
（2）f（x）=m（x）+n（x）=log₄（4^x+1）+kx，
由于f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx，
即有2kx=log₄

4-x+1

4x+1

=log₄

1

4x

=-x，
即有k=-

1

2

；
（3）f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x，令f（x）=g（x），
則log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x-

4

3

a），
即有

4x+1

2x

=2^x-

4

3

a，即為2^-x=-

4

3

a，
由于2^-x＞0，則a＜0，
則函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有公共點，
即有a的取值范圍是（-∞，0）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運用：求解析式，求參數(shù)，考查對數(shù)的運算性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．