Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+2x²-x+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，求M的最小題．

Answer 1

解：（1），
由．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（），單調(diào)遞減區(qū)間是（），（1，+∞）．（7分）
（2）根據(jù)（1）的討論列下表：

x	0	（）			1
f/（x）		-	0	+
f（x）	2		極小值		2

由此可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為，最大值為f（0）=f（1）=2．
對任意的，
故對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，則M的最小值為．（13分）
分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，令導(dǎo)數(shù)大于零得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零得出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）原問題可化為函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差小于或等于M，由（1）的結(jié)論，列出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性的表格，求出其最小值為，最大值為f（0）=f（1）=2，故M≥||=，故M的最小值為．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值，屬于中檔題．