Question

（1）在△ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且bcosC+ccosB=3acosB，
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若

BA

•

BC

=2且b=2

2

，求a和c的值．
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足遞推關(guān)系式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．求數(shù)列{a_n}的通項公式和數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1））（Ⅰ）由于bcosC+ccosB=3acosB，利用正弦定理代換得出sinBbcosC+sinCcosB=3sinAcosB，整理sin（B+C）=3sinAcosB，易求cosB
（Ⅱ）

BA

•

BC

=2，即cacosB=2，ca=6①．又b=2

2

，由余弦定理8=a²+c²-2accosB，即a²+c²=12②，①②聯(lián)立求出a，c．
（2）由a_n=2a_n-1+1（n≥2），構(gòu)造得出a_n+1=2（a_n-1+1），通過求出等比數(shù)列{a_n+1}的通項公式得出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）（Ⅰ）由于bcosC+ccosB=3acosB，利用正弦定理代換得出sinBbcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
整理sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，所以cosB=

1

3

（sinA≠0）
（Ⅱ）若

BA

•

BC

=2，即cacosB=2，ca=6①．
又b=2

2

，由余弦定理8=a²+c²-2accosB，即a²+c²=12②
①②聯(lián)立解得a=c=

6

（2）在a_n=2a_n-1+1（n≥2）兩邊同時加1，得出a_n+1=2（a_n-1+1），
數(shù)列{a_n+1}是以2為公比的等比數(shù)列，首項a₁+1
a₄+1=（a₁+1）•2³=16，解得a₁=1．
數(shù)列{a_n+1}的通項公式為a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
a_n=2ⁿ-1
數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n
=2ⁿ⁺¹-n-2

點(diǎn)評：（1）題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用．（2）題考查數(shù)列性質(zhì)的判定，通項公式求解，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造的解題方法與能力．