Question

某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)投入廣告費(fèi)t（百萬(wàn)元），可增加銷售額約為-t²+5t（百萬(wàn)元）（0≤t≤5）．
（1）若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司由此獲得的收益最大？
（2）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x（百萬(wàn)元），可增加的銷售額約為x³+x²+3x（百萬(wàn)元）．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大？（注：收益=銷售額-投放）．

Answer 1

解：（1）設(shè)投入t（t百萬(wàn)元）的廣告費(fèi)后增加的收益為f（t）（百萬(wàn)元），
則有f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t=-（t-2）²+4（0＜t≤3），
所以當(dāng)t=2百萬(wàn)元時(shí)，f（t）取得最大值4百萬(wàn)元．
即投入2百萬(wàn)元時(shí)的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大．（6分）
（2）設(shè)用技術(shù)改造的資金為x（百萬(wàn)元），
則用于廣告促銷的資金為（3-x）（百萬(wàn)元），
則增加的收益為g（x）=（-x³+x²+3x）+[-（3-x）²+5（3-x）]-3=x³+4x+3（0≤x≤3），
所以g′（x）=-x²+4．令g′（x）=0，
解得x=2，或x=-2（舍去）．
又當(dāng)0≤x＜2時(shí)，g′（x）＞0，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，g′（x）＜0．
故g（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[2，3]上是減函數(shù)．
所以當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取最大值，
即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，1百萬(wàn)元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．（16分）
分析：（1）設(shè)投入t（t百萬(wàn)元）的廣告費(fèi)后增加的收益為f（t）根據(jù)收益為銷售額與投放的差可建立收益模型為：f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t，再由二次函數(shù)法求得最大值．
（2）根據(jù)題意，若用技術(shù)改造的資金為x（百萬(wàn)元），則用于廣告促銷的資金為（3-x）（百萬(wàn)元），則收益模型為：g（x）=x³+x²+3x）+[-（3-x）²+5（3-x）]-3=x³+4x+3（0≤x≤3），因?yàn)槭歉叽魏瘮?shù)，所以用導(dǎo)數(shù)法研究其最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，還考查了二次函數(shù)法和導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的最值的基本方法．