Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

5

3

，a²與b²的等差中項為

13

2

．求：
（1）橢圓E的方程；
（2）A，B是橢圓E上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（t，0），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓的離心率及a²與b²的等差中項為

13

2

列式求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出橢圓上A，B兩點的坐標(biāo)，利用點差法求得AB的斜率，進一步得到AB的中垂線方程，求出與x軸交于點P的坐標(biāo)，利用AB中點的坐標(biāo)的范圍得實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）由e=

c

a

=

5

3

，得

a2-b2

a2

=

5

9

又a²+b²=13，
∴a²=9，b²=4，
∴橢圓E的方程為

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點（x₀，y₀），則-3＜x₀＜3，
∵A，B在橢圓上，則

x12

9

+

y12

4

=1，

x22

9

+

y22

4

=1，
作差可得，

(x1-x2)(x1+x2)

9

=-

(y1-y2)(y1+y2)

4

，即

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

•

x1+x2

y1+y2

，
∴kAB=-

4

9

•

x0

y0

，
∴線段AB的垂直平分線方程為y-y₀=

9y0

4x0

（x-x₀），
取y=0得，t=

5

9

x0．
∴-

5

3

＜t＜

5

3

．
即實數(shù)t的取值范圍是(-

5

3

，

5

3

)．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，訓(xùn)練了利用點差法求與弦中點有關(guān)的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．