Question

f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且f（-1）=0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為（　�。�

A．（-1，0）∪（1，+∞）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：構造函數(shù)h（x）=f（x）g（x），由已知得到當x＜0時，h′（x）＜0，所以函數(shù)y=h（x）在（-∞，0）單調遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得到函數(shù)y=h（x）為R上的奇函數(shù)，得到函數(shù)y=h（x）在（0，+∞）單調遞減，畫出函數(shù)h（x）的草圖，結合圖象得到不等式的解集．

解答：解：設h（x）=f（x）g（x），
因為當x＜0時，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，
所以當x＜0時，h′（x）＜0，
所以函數(shù)y=h（x）在（-∞，0）單調遞減，
又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
所以函數(shù)y=h（x）為R上的奇函數(shù)，
所以函數(shù)y=h（x）在（0，+∞）單調遞減，
因為f（-1）=0，
所以函數(shù)y=h（x）的大致圖象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
故選A．

點評：本題考查導數(shù)的乘法法則、導數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系；奇函數(shù)的單調性在對稱區(qū)間上一致，屬于基礎題．