Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=a，G是EF的中點，
（1）求證平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由面面垂直的性質(zhì)證明CB⊥AG，用勾股定理證明AG⊥BG，得到AG⊥平面CBG，從而結(jié)論得到證明．
（2）由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，故∠BGH是GB與平面AGC所成的角，
解Rt△CBG，可得GB與平面AGC所成角的正弦值．

解答：（1）證明：正方形ABCD?CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中點，
∴AG=BG=

2a

，AB=2a，AB²=AG²+BG²，∴AG⊥BG，
∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．

（2）解：如圖，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，
在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角．
∴在Rt△CBG中BH=

BC•BG

CG

=

BC•BG

BC2+BG2

=

2 3

3

a，又BG=

2

a，
∴sin∠BGH=

BH

BG

=

6

3

．

點評：本題考查面面垂直的判定方法，以及求線面成的角的求法，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想．