Question

要建造一個容積為2000m³，深為5m的長方體無蓋蓄水池，池壁的造價為95元/m²，池底的造價為135元/m²，若水池底的一邊長為xm，水池的總造價為y元．
（1）把水池總造價y表示為x的函數(shù)y=f（x），并寫出函數(shù)的定義域．
（2）試證明：函數(shù)y=f（x）當(dāng)x∈（0，20]時是減函數(shù)，當(dāng)x∈[20，+∞）時是增函數(shù)
（3）當(dāng)水池底的一邊長x為多少時，水池的總造價最低，最低造價是多少．

Answer 1

分析：（1）水池總造價等于池底造價+池壁造價，代入整理即可得到函數(shù)y=f（x），同時可得函數(shù)的定義域；
（2）利用單調(diào)性的證題步驟：取值，作差，變形，定號，下結(jié)論即可．設(shè)x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20，作差變形可得f（x₁）＜f（x₂），從而當(dāng)x∈（0，20]時，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)；同理x∈[20，+∞）時，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)．
（3）利用（2）中函數(shù)的單調(diào)性，即可得結(jié)論．

解答：（1）解：由池底的一邊長為xm，則池寬為

400

x

m，池底面積為400m²，
根據(jù)水池總造價等于池底造價+池壁造價，可得水池總造價y為：y=135×400+(x+

400

x

)×5×2×95=54000+950(x+

400

x

)（x＞0）
（2）證明：由y=f(x)=54000+950(x+

400

x

)（x＞0）
設(shè)x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20
∴f(x1)-f(x2)=

950(x1-x2)(x1x2-400)

x1x2

，
∵x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂-400＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴當(dāng)x∈（0，20]時，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)；
同理x∈[20，+∞）時，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)．
（3）解：由（2）知當(dāng)x=20，函數(shù)y=f（x）取得最小值f（20）=92000．
答：當(dāng)水池的長x為20m時，水池的總造價最低，最低造價為92000元．

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)解決實際問題．