Question

如圖1，某學(xué)校田徑場(chǎng)上有一旗桿OP，為了測(cè)量它的高度，在地面上選一基線AB，設(shè)其長(zhǎng)度為d，在A點(diǎn)處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為α，在B點(diǎn)處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為β．
（1）若AB=20，α=30°，β=45°，且∠AOB=30°，求旗桿的高度h；
（2）經(jīng)分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)將基線AB調(diào)整到線段AO上（如圖2），α與β之差盡量大時(shí)，可以提高測(cè)量精確度，設(shè)調(diào)整后AB的距離為d，tanβ=

4

d

，旗桿的實(shí)際高度為25，試問(wèn)d為何值時(shí)，β-α最大？

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理，可得AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB，即可求旗桿的高度h；
（2）計(jì)算tan（β-α），利用基本不等式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）在Rt△POA中，OA=

3

h，在Rt△POB中，OB=h，
在Rt△AOB中，d²=（

3

h）²+h²-2•

3

h•hcos30°，其中：d=20，得：h=20，
故旗桿的高度為20
（2）∵tanα=

h

d+ dh 4

，tanβ=

4

d

∴tan（β-α）=

4 d - 4h d(h+4)

1+ 16h d2(h+4)

=

16d

d2(h+4)+16h

=

16

d(h+4)+ 16h d

≤

16

2 16h(h+4)

=

2

h(h+4)

=

2

5 29

當(dāng)且僅當(dāng)d（h+4）=

16h

d

即d=

20

29

時(shí)“=”成立
故當(dāng)d=

20

29

時(shí)，tan（β-α）最大，
∵0＜α＜β＜

π

2

，∴0＜β-α＜

π

2

，
∴當(dāng)d=

20

29

時(shí)，β-α最大

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查差角的正切公式，考查正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．