Question

【題目】矩形中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，沿將折起至，如圖所示，點(diǎn)在面的射影落在上.

（1）求證：面面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）首先可通過題目所給條件證出面即，再通過和可證面，最后即可證明出面面；

（2）首先可構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，然后求出面的法向量和面的法向量，最后通過平面與平面所成銳二面角與互補(bǔ)即可得出結(jié)果。

（1）在四棱錐中，，，從而有，

又因?yàn)?/span>面，而面，所以，

而、面，且，由線面垂直定理可證面

又面，由面面垂直判斷定定理即證面面

（2）由條件知面，過點(diǎn)做的平行線，又由（1）知面，

以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

，，，，，

面的一個(gè)法向量為，

設(shè)面的法向量為，則有，

從而可得面的一個(gè)法向量為，，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，與互補(bǔ)，則，

故平面與平面所成二面角的余弦值為。