Question

（本小題滿(mǎn)分12分）已知在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為

（t為非零常數(shù)，為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，直線(xiàn)的方程為．

（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的普通方程并說(shuō)明曲線(xiàn)的形狀；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)與曲線(xiàn)C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)、，且

（其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)求出；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∵，∴可將曲線(xiàn)C的方程化為普通方程：．

①當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓； 

②當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C為中心在原點(diǎn)的橢圓．

（Ⅱ）不存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)． 

【解析】(I)先把方程化成,然后再根據(jù)t²與1的關(guān)系進(jìn)行討論.

（II）先求出直線(xiàn)l的普通方程為,然后再與曲線(xiàn)C的方程聯(lián)立消y得關(guān)于x的一元二次方程，由于,所以再借助韋達(dá)定理及判斷式來(lái)解此題.

解：（Ⅰ）∵，∴可將曲線(xiàn)C的方程化為普通方程：．

①當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓； 

②當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C為中心在原點(diǎn)的橢圓．………………5分

（Ⅱ）直線(xiàn)的普通方程為：．聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程，消得，

化簡(jiǎn)得．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，

 

，

解得．又 

故．

解得與相矛盾．  故不存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)． ………………12分