Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA切圓O于點(diǎn)A，割線PBC經(jīng)過(guò)圓心O，OB=PB=1，OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° 到OD．
（1）求線段PD的長(zhǎng)；
（2）在如圖所示的圖形中是否有長(zhǎng)度為的線段？若有，指出該線段；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PA與圓O相切，根據(jù)切線性質(zhì)得到OA與AP垂直，所以三角形OPA為直角三角形，又B為斜邊PO的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AB=OB=OA，故三角形AOB為等邊三角形，得到∠AOB=60°，由旋轉(zhuǎn)角也為60°得到∠POD=120°，由OD及PO的長(zhǎng)，利用余弦定理即可求出線段PD的長(zhǎng)；
（2）線段PA長(zhǎng)度為，理由為：由PA為圓O的切線，PB為圓的割線，由切割線定理列出PA²=PB•PC，將PA和OB的長(zhǎng)代入即可求出PA的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵PA切圓O于點(diǎn)A，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°，
又B為PO中點(diǎn)，∴AB=OB=OA．
∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，
在△POD中，由OP=OB+PB=2，OD=1根據(jù)余弦定理得：
，
則PD=；（5分）
（2）圖形中有線段PA=，理由如下：
∵PA是切線，PB=BO=OC
∴PA²=PB•PC=1×3=3，
∴PA=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，余弦定理及切割線定理．要求學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，且圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，熟練掌握余弦定理及切割線定理是解本題的關(guān)鍵．