Question

已知函數(shù).

（I）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（II）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；

（III）若，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I） （II） （III）

【解析】

試題分析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.

（Ⅰ）函數(shù),

當時,.所以函數(shù)的單調增區(qū)間是.       3分

（Ⅱ）因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．

所以當時，．

又，

故當，即時，，所以，故

所以的最小值為.

（Ⅲ）“若，使成立”等價于

“當時，有”，

有（Ⅱ），當時，有，，

問題等價于：“當時，有”

當時，由（Ⅱ），在上為減函數(shù).

則，故.

當時，由于在上為增函數(shù)，

故的值域為，即．

由的單調性和值域知，唯一，使，且滿足：

當時，，為減函數(shù)；

當時，，為增函數(shù)；

所以，=，．

所以，，與矛盾，不合題意．

綜上，.

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查恒成立問題，同時考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性．