Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為線段上點(diǎn)，且，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，與圓相交于另一點(diǎn)，且點(diǎn)、位于點(diǎn)的同側(cè)，當(dāng)面積最大時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的方程；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)中垂線的概念，可得，然后根據(jù)橢圓的定義，可得結(jié)果.

（Ⅱ）根據(jù)面積最大，找到點(diǎn)，得到直線方程，然后聯(lián)立橢圓的方程，計(jì)算，同時(shí)利用圓的弦長公式計(jì)算，根據(jù)，可得結(jié)果.

（Ⅰ）由題可知：圓

圓心，半徑為

又為線段的中點(diǎn)，在上且

所以為的中垂線，所以

又

所以點(diǎn)的軌跡為橢圓，

設(shè)曲線的方程

則

由

所以曲線的方程

（Ⅱ）如圖

假設(shè)點(diǎn)在軸上方，設(shè)點(diǎn)

當(dāng)面積最大時(shí)，則軸

所以點(diǎn)

則直線方程為：，即

點(diǎn)到直線的距離為

所以

所以

所以