解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點坐標為A(0，－1)，且其右焦點到直線x－y＋2＝0的距離為3．

(1)求橢圓的方程；

(2)是否存在斜率為k的直線l，使l與已知曲線交于不同兩點M、N，且有|AM|＝|AN|，若存在，求k的范圍；若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　(1)依題意可設橢圓方程為＋＝1，

　　∴右焦點坐標為(，0)．

　　由點到直線距離公式得3＝，解得a2＝3．

　　∴橢圓方程為＋y2＝1．

　　(2)設這樣的直線存在，設l方程為y＝kx＋m，代入橢圓方程(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0．

　　∵直線l與橢圓交于M、N兩點，

　　∴Δ＞0，即36k2m2－12(1＋3k2)(m2－1)＞0．

　　化簡得m2＜3k2＋1．　　(*)

　　而|AM|＝|AN|可等價轉化為直線l的垂直平分線過點A，

　　設M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN中點(x0，y0)．

　　由韋達定理x1＋x2＝，

　　∴x0＝，

　　∴y0＝．

　　∴－＝，

　　化簡得m＝，代入(*)式得()2＜3k2＋1，

　　解得－1＜k＜1，故存在直線l使|AM|＝|AN|．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，已知兩圓交于A、B兩點，過點A、B的直線分別與兩圓交于P、Q和M、N．求證：PM∥QN．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣A的逆矩陣A-1=
10
02
，求矩陣A．
C．（極坐標與參數(shù)方程）
在平面直角坐標系xOy中，過橢圓
x2
12
+
y2
4
=1在第一象限處的一點P（x，y）分別作x軸、y軸的兩條垂線，垂足分別為M、N，求矩形PMON周長最大值時點P的坐標．
D．（不等式選講）
已知關于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：022

已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(________)的兩個焦點，P是橢圓上一點，且∠F1PF2＝，則△F1PF2的面積是b2．請將題目中空缺的一個可能條件填入“________”處．

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科目：高中數(shù)學 來源：走向清華北大同步導讀·高二數(shù)學(上) 題型：044

已知橢圓E的一個焦點是(0，－)，對應準線是y＝－，并且和的等比中項是離心率e．

(1)求橢圓E的方程；

(2)如果一條直線l與橢圓E交于M、N兩個不同點，使得線段MN恰好被直線x＝－平分，試求直線l的傾斜角的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：中學教材標準學案　數(shù)學　高二上冊 題型：044

解答題

已知橢圓＋＝1的焦點為F1、F2，能否在x軸下方的橢圓弧上找到一點M，使M到下準線的距離|MN|等于點M到焦點F1、F2的距離的比例中項？若存在，求出M點坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：張家界市一中2007屆高三12月考試理科數(shù)學試卷 題型：044

解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

已知橢圓的一個頂點為A(0，－1)，焦點在x軸上，若右焦點到直線x－y＋2＝0的距離為3．

(1)

求橢圓的標準方程

(2)

設直線l：y＝x＋m，是否存在實數(shù)m，使直線l與1中的橢圓有兩個不同的交點M、N，且若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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