Question

如圖，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，已知BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=

π

3

（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，AB=

2

，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB⊥側面BB₁C₁C，易得AB⊥BC₁，又由BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=

π

3

，解△BC₁C得C₁B⊥BC，進而根據(jù)線面垂直的判定定理，即可得到C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，我們易得B₁E⊥平面ABE，BE⊥B₁E，設CE=x，則C₁E=2-x，由余弦定理，我們易判斷E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁
（III）取EB₁的中點D，A₁E的中點F，BB₁的中點N，AB₁的中點M，連DF，DN，MN，MF，則MNDF為矩形，MD∥AE，由A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁故∠MDF為所求二面角的平面角，解Rt△DFM中，即可得到二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

解答：證明：（Ⅰ）因為AB⊥側面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁
在△BC₁C中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=

π

3

由余弦定理有BC1=

BC2+CC12-2•BC•CC1•cos∠BCC1

=

1+4-2×2×cos π 3

=

3

故有BC²+BC₁²=CC₁²
∴C₁B⊥BC
而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC
∴C₁B⊥平面ABC

（Ⅱ）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE
從而B₁E⊥平面ABE且BE?平面ABE故BE⊥B₁E
不妨設CE=x，則C₁E=2-x，則BE²=1+x²-x
又∵∠B1C1C=

2

3

π則B₁E²=1+x²+x
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²-x+1=4從而x=±1（舍負）
故E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁
（Ⅲ）取EB₁的中點D，A₁E的中點F，BB₁的中點N，AB₁的中點M

連DF則DF∥A₁B₁，連DN則DN∥BE，連MN則MN∥A₁B₁
連MF則MF∥BE，且MNDF為矩形，MD∥AE
又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁故∠MDF為所求二面角的平面角
在Rt△DFM中，DF=

1

2

A1B1=

2

2

(∵△BCE為正三角形)
MF=

1

2

BE=

1

2

CE=

1

2

∴tan∠MDF=

1 2

2 2

=

2

2

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，二面角的平面角及求法，其中熟練掌握空間直線與平面的平行、垂直的判定、性質(zhì)、定義及幾何特征是解答此類問題的關鍵．