Question

已知F₁、F₂分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，M、N分別是直線（m是大于零的常數(shù)）與x軸、y軸的交點，線段MN的中點P在橢圓C上．
（Ⅰ）求常數(shù)m的值；
（Ⅱ）試探究直線l與橢圓C是否還存在異于點P的其它公共點？請說明理由；
（Ⅲ）當a=2時，試求△PF₁F₂面積的最大值，并求△PF₁F₂面積取得最大值時橢圓C的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），
故MN的中點為，
又點P在橢圓C上，∴，所以

（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得，
與方程C聯(lián)立得：，
即，
由于，
∴此方程有兩個相等實根，
故直線l與橢圓C相切，切點為，
除此之外，不存在其他公共點

（解法二）由（Ⅰ）得，與方程C聯(lián)立得：
所以，則
∴和是方程的兩根，
又，∴此方程有兩個相等實根，即，
∴直線l與橢圓C的公共點是唯一的點，
即除點P以外，不存在其他公共點

（Ⅲ）當a=2時，=，
所以，
當且僅當時，等式成立，故
此時，橢圓C的方程為：

分析：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），從而可得MN的中點為P的坐標，利用點P在橢圓C上，即可求常數(shù)m的值；
（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得，與方程C聯(lián)立消元，由此可得直線l與橢圓C相切時切點的坐標；
（解法二）由（Ⅰ）得，與方程C聯(lián)立，可得，從而和是方程的兩根，由此可得直線l與橢圓C的公共點是唯一的點P；
（Ⅲ）當a=2時，表示△PF₁F₂面積，利用基本不等式，可求△PF₁F₂面積的最大值，從而可得橢圓C的方程．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，聯(lián)立直線與橢圓方程是關(guān)鍵．