Question

4．下表提供了某公司技術(shù)升級后生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的成本y（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y對x的回歸直線方程；
（3）已知該公司技術(shù)升級前生產(chǎn)100噸A產(chǎn)品的成本為90萬元．試根據(jù)（2）求出的回歸直線方程，預測技術(shù)升級后生產(chǎn)100噸A產(chǎn)品的成本比技術(shù)升級前約降低多少萬元？
（附：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{1}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本平均值）

Answer 1

分析 （1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來即可；
（2）計算平均數(shù)和回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（3）利用線性回歸方程計算x=100時$\stackrel{∧}{y}$的值，再求出比技改前降低了多少．

解答 解：（1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖如下：

（2）計算$\overline x=\frac{1}{4}（3+4+5+6）=4.5$，
$\overline y=\frac{1}{4}（2.5+3+4+4.5）=3.5$，
$\sum_{i=1}^4{x_1^2={3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}}=86$，
$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5}=66.5$，
∴回歸方程的系數(shù)為
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_1^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{66.5-4×4.5×3.5}{{86-4×{{4.5}^2}}}=0.7$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=3.5-0.7×4.5=0.35$，
所求線性回歸方程為$\hat y=0.7x+0.35$；
（3）利用線性回歸方程計算x=100時，
$\hat y=0.7×100+0.35=70.35$，
又90-70.35=19.65，
即比技改前降低了19.65噸．

點評 本題考查了散點圖與線性回歸方程的應用問題，是基礎(chǔ)題．