Question

甲、乙兩運(yùn)動員進(jìn)行射擊訓(xùn)練,已知他們擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán),且每次射擊成績互不影響,射擊環(huán)數(shù)的頻率分布表如下:
甲運(yùn)動員

射擊環(huán)數(shù)	頻數(shù)	頻率
7	10	0.1
8	10	0.1
9	x	0.45
10	35	y
合計(jì)	100	1

乙運(yùn)動員

射擊環(huán)數(shù)	頻數(shù)	頻率
7	8	0.1
8	12	0.15
9	z
10		0.35
合計(jì)	80	1

若將頻率視為概率,回答下列問題:
(1)求甲運(yùn)動員射擊1次擊中10環(huán)的概率.
(2)求甲運(yùn)動員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率.
(3)若甲運(yùn)動員射擊2次,乙運(yùn)動員射擊1次,ξ表示這3次射擊中擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的次數(shù),求ξ的分布列及E(ξ).

Answer 1

(1) 0.35    (2) 0.992    (3) ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0.48

2.35

由題意得x=100-(10+10+35)=45,
y=1-(0.1+0.1+0.45)=0.35.
因?yàn)橐疫\(yùn)動員的射擊環(huán)數(shù)為9時(shí)的頻率為1-(0.1+0.15+0.35)=0.4,所以z=0.4×=32.
由上可得表中x處填45,y處填0.35,z處填32.
(1)設(shè)甲運(yùn)動員射擊1次擊中10環(huán)為事件A,則P(A)=0.35,即甲運(yùn)動員射擊1次擊中10環(huán)的概率為0.35.
(2)設(shè)甲運(yùn)動員射擊1次擊中9環(huán)為事件A₁,擊中10環(huán)為事件A₂,則甲運(yùn)動員在1次射擊中擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率為P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)=0.45+0.35
=0.8,
故甲運(yùn)動員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率P=1-[1-P(A₁∪A₂)]³=1-0.2³=0.992.
(3)ξ的可能取值是0,1,2,3,則
P(ξ=0)=0.2²×0.25=0.01,
P(ξ=1)=×0.2×0.8×0.25+0.2²×0.75=0.11,
P(ξ=2)=0.8²×0.25+×0.8×0.2×0.75=0.4,
P(ξ=3)=0.8²×0.75=0.48.
所以ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0.48

E(ξ)=0×0.01+1×0.11+2×0.4+3×0.48=2.35.