Question

14．一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)形狀相同的小球，分別標(biāo)有不同的數(shù)字2，3，4，x，現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，并計(jì)算摸出的這2個(gè)球上的數(shù)字之和，記錄后將小球放回袋中攪勻，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)．記A事件為“數(shù)字之和為7”．試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：

摸球總次數(shù)	10	20	30	60	90	120	180	240	330	450
“和為7”出現(xiàn)的頻數(shù)	1	9	14	24	26	37	58	82	109	150
“和為7”出現(xiàn)的頻率	0.10	0.45	0.47	0.40	0.29	0.31	0.32	0.34	0.33	0.33

（參考數(shù)據(jù)：0.33$≈\frac{1}{3}$）
（Ⅰ）如果試驗(yàn)繼續(xù)下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“數(shù)字之和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近．試估計(jì)“出現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率，并求x的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)定一種游戲規(guī)則：每次摸2球，若數(shù)字和為7，則可獲得獎(jiǎng)金7元，否則需交5元．某人摸球3次，設(shè)其獲利金額為隨機(jī)變量η元，求η的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)據(jù)表，利用頻率估計(jì)概率，列方程求出x的值；
（Ⅱ）根據(jù)題意，ξ～（3，$\frac{1}{3}$），計(jì)算Eξ、Dξ，和Eη、Dη的值．

解答 解：（Ⅰ）由數(shù)據(jù)表可知，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)，頻率穩(wěn)定在0.33附近，
所以可以估計(jì)“出現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率為$\frac{1}{3}$；      （2分）
∵P（A）=$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{{C}_{4}^{2}}$，∴A事件包含兩種結(jié)果，
則有3+4=2+x=7，解得x=5；    （5分）
（Ⅱ）設(shè)ξ表示3次摸球中A事件發(fā)生的次數(shù)，
則ξ～（3，$\frac{1}{3}$），Eξ=3×$\frac{1}{3}$=1，
Dξ=3×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$；                     （8分）
則η=7ξ-5（3-ξ）=12ξ-15，
Eη=E（12ξ-15）=12Eξ-15=12-15=-3，（10分）
Dη=D（12ξ-15）=144Dξ=144×$\frac{2}{3}$=96；          （12分）
（注：（2）問也可以利用分布列去計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用問題，是中檔題．