對于函數(shù)f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1（x∈R）給出下列命題：
①f（x）的最小正周期為2π；
②f（x）在區(qū)間[
π
2
，
5π
8
]上是減函數(shù)；
③直線x=
π
8
是f（x）的圖象的一條對稱軸；
④f（x）的圖象可以由函數(shù)y=
2
sin2x的圖象向左平移
π
4
而得到．
其中正確命題的序號是
②③
②③
（把你認為正確的都填上）．
分析：由于f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1=
2
sin（2x+
π
4
），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)對①②③④諸項判斷即可．
解答：解：∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1=
2
sin（2x+
π
4
），
∴T=
2π
2
=π，①不對；
由2kπ+
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
得：kπ+
π
8
≤x≤kπ+
5π
8
，k∈Z．當k=0時，
π
8
≤x≤
5π
8
，
顯然，[
π
2
，
5π
8
]?[
π
8
，
5π
8
]，
∴f（x）在區(qū)間[
π
2
，
5π
8
]上是減函數(shù)正確，即②正確；
對于③，f（0）=
2
×
2
2
=1，f（
π
4
）=
2
sin
3π
4
=
2
×
2
2
=1，即f（0）=f（
π
4
），
故直線x=
π
8
是f（x）的圖象的一條對稱軸，正確，即③正確；
④，函數(shù)y=
2
sin2x的圖象向左平移
π
4
而得到：y=
2
sin2（x+
π
4
）=
2
cos2x≠
2
sin（2x+
π
4
），即④錯誤．
綜上所述，正確命題的序號是②③．
故答案為：②③．
點評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考察正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性及化簡求值，考查三角函數(shù)的綜合運用能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）定義域中任意的x1、x2（x1≠x2）有如下結論：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）
②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0
④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2

當f（x）=2x時，上述結論中正確結論的序號是
①③④
①③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=lg|x-2|+1，有如下三個命題：
①f（x+2）是偶函數(shù)；
②f（x）在區(qū)間（-∞，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)；
③f（x+2）-f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)．
其中正確命題的序號是
①，②
①，②
．（將你認為正確的命題序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a為正實數(shù)），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）對于函數(shù)F（x）及其定義域D，若存在x0∈D，使F（x0）=x0成立，則稱x0為F（x）的不動點．若f（x）+g（x）+b在其定義域內(nèi)存在不動點，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若n為正整數(shù)，證明：10f(n)•(
4
5
)g(n)＜4．
（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.3010，(
4
5
)9=0.1342，(
4
5
)16=0.0281，(
4
5
)25=0.0038）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出定義：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即 {x}=m．在此基礎上有函數(shù)f(x)=|x-{x}
.
_  
(x∈
．
（1）求f(4)，f(-
1
2
)，f(-8.3)的值；
（2）對于函數(shù)f（x），現(xiàn)給出如下一些判斷：
①函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(-
1
2
，
1
2
]上單調(diào)遞增；
④函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=k+
1
2
 &(k∈Z)
對稱；
請你將以上四個判斷中正確的結論全部選擇出來，并選擇其中一個加以證明；
（3）若-206＜x≤207，試求方程f(x)=
9
23
的所有解的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=
2
（sin x+cos x），給出下列四個命題：
①存在a∈(-
π
2
，0)，使f（α）=
2
；
②存在α∈(0，
π
2
)，使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在φ∈R，使函數(shù)f（x+φ）的圖象關于坐標原點成中心對稱；
④函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=-
3π
4
對稱；
⑤函數(shù)f（x）的圖象向左平移
π
4
個單位長度就能得到y(tǒng)=-2cos x的圖象．
其中正確命題的序號是（　　）

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