證明函數(shù)f(x)=
x+2
在[-2,+∞)上是增函數(shù).
分析:本題考查的是函數(shù)單調性的問題.在解答時要根據(jù)函數(shù)單調性的定義,先在所給的區(qū)間上任設兩個數(shù)并規(guī)定大小,然后通過作差法即可分析獲得兩數(shù)對應函數(shù)值之間的大小關系,結合定義即可獲得問題的解答.
解答:證明:任取x1,x2∈[-2,+∞),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
x1+2
-
x2+2

=
(
x1+2
-
x2+2
)(
x1+2
+
x2+2
)
x1+2
+
x2+2
=
x1-x2
x1+2
+
x2+2

因為x1-x2<0,
x1+2
+
x2+2
>0

得f(x1)<f(x2
所以函數(shù)f(x)=
x+2
在[-2,+∞)上是增函數(shù).
點評:本題考查的是函數(shù)單調性的問題.在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)的定義域問題、單調性判斷以及作差法的技巧.值得同學們體會和反思.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)上遞減,函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間
 
上遞增;
(2)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
,當x=
 
時,y最小=
 
;
(3)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結果,不需證明)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下面對命題“函數(shù)f(x)=x+
1
x
是奇函數(shù)”的證明不是綜合法的是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

觀察下列表格,探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的性質,
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57
(1)請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)上遞減;
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間
(2,+∞)
(2,+∞)
上遞增.
當x=
2
2
時,y最小=
4
4

(2)證明:函數(shù)f(x)=x+
4
x
在區(qū)間(0,2)遞減.
(3)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結果,不需證明)

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

下面對命題“函數(shù)f(x)=x+
1
x
是奇函數(shù)”的證明不是綜合法的是( 。
A.?x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+
1
-x
=-(x+
1
x
)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù)
B.?x∈R且x≠0有f(x)+f(-x)=x+
1
x
+(-x)+(-
1
x
)=0,∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函數(shù)
C.?x∈R且x≠0,∵f(x)≠0,∴
f(-x)
f(x)
=
-x-
1
x
x+
1
x
=-1,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù)
D.取x=-1,f(-1)=-1+
1
-1
=-2,又f(1)=1+
1
1
=2

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科目:高中數(shù)學 來源:《2.2 綜合法與分析法》2013年同步練習(解析版) 題型:選擇題

下面對命題“函數(shù)f(x)=x+是奇函數(shù)”的證明不是綜合法的是( )
A.?x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+=-(x+)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù)
B.?x∈R且x≠0有f(x)+f(-x)=x++(-x)+(-)=0,∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函數(shù)
C.?x∈R且x≠0,∵f(x)≠0,∴==-1,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù)
D.取x=-1,f(-1)=-1+=-2,又f(1)=1+=2

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