Question

已知等腰梯形PDCB中(如圖1)，PB=3，DC=1，PD=BC=，A為PB邊上一點，且PA=1．將△PAD沿AD折起，使面⊥面ABCD(如圖2)．

   

(I)證明：平面PAD⊥平面PCD；

(Ⅱ)試在棱PB上確定一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分:=2：1；   

(Ⅲ)在M滿足(Ⅱ)的情況下，判斷直線PD是否平行平面AMC

Answer 1

(Ⅰ)證明：依題意知：CD⊥AD．又∵面PAD⊥面ABCD  

       ∴DC⊥平面PAD． 

      又DC平面PAD．∴平面PAD⊥平面PCD．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PA⊥平面ABCD．∴平面PAB⊥平面ABCD

    在PB上取一點M，作MN⊥AB,則MN⊥平面ABCD，

    設MN=h

    則

     

要使，即，解得    

    即M為PB的中點．

(Ⅲ)以A為原點，

AD、AB、AP所在直線為，，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系

則A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)， P(0，0，1)，M(0，1，)

由(Ⅰ)知平面PAD⊥平面PCD，作AQ⊥PD，則AQ⊥平面PDC，則為平面PCD的法向量．

又∵△PAD為等腰Rt△．

∴Q為PD的中點，即Q

 因為，所以不垂直

所以AM與平面PCD不平行．