Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，橢圓C上的點到F的最大距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C右焦點F的直線l（與x軸不重合）與橢圓C交于A、B兩點，求△OAB（O為坐標原點）面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的焦點坐標，求得c，由a+c=3，則a=2，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式及函數(shù)的單調(diào)性即可求得△OAB面積S的最大值．

解答 解：（1）由拋物線線上，y²=4x焦點坐標為（1，0），則c=1，
由橢圓C上的點到F的最大距離為a+c=3，則a=2，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：x=ky+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消x，整理得：（3k²+4）y²+6ky-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=$\frac{6\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+3{k}^{2}}$．
令k²+1=t（t≥1），
S_△OAB=$\frac{6\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+3{k}^{2}}$=$\frac{6t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{6}{3（t+\frac{1}{3t}）}$．
則f（t）=t+$\frac{1}{3t}$，（t≥1），f′（t）=1-$\frac{1}{3{t}^{2}}$=$\frac{3{t}^{2}-1}{3{t}^{2}}$，
∴f（t）在[1，+∞）單調(diào)遞增，當t=1時，f（t）取最小值，最小值為$\frac{4}{3}$．
S_△OAB=$\frac{6}{3（t+\frac{1}{3t}）}$（t≥1），的最大值為$\frac{3}{2}$，
∴S_△OAB的最大值為$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查拋物線的應用和拋物線定義，考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，函數(shù)的單調(diào)性在最值中的應用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力，屬于中檔題．