Question

20．已知a₁，a₂，b₁，b₂∈R₊，求證：$\sqrt{（{a}_{1}+_{1}）（{a}_{2}+_{2}）}$≥$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\sqrt{_{1}_{2}}$．

Answer 1

分析 運用分析法證明，化簡整理，再由基本不等式即可得證．

解答 證明：要證$\sqrt{（{a}_{1}+_{1}）（{a}_{2}+_{2}）}$≥$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\sqrt{_{1}_{2}}$，
即證（a₁+b₁）（a₂+b₂）≥a₁a₂+b₁b₂+2$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}_{1}_{2}}$，
即證a₁b₂+b₁a₂≥2$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}_{1}_{2}}$，
由a₁，a₂，b₁，b₂∈R₊，運用基本不等式上式顯然成立．
故原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分析法，考查運算化簡能力，屬于基礎題．