【題目】設(shè)函數(shù),,其中恒不為0.
(1)設(shè),求函數(shù)在x=1處的切線方程;
(2)若是函數(shù)與的公共極值點,求證:存在且唯一;
(3)設(shè),是否存在實數(shù)a,b,使得在(0,)上恒成立?若存在,請求出實數(shù)a,b滿足的條件;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在;a=0,b≠0符合題意
【解析】
(1)根據(jù),得到,求導,得到,,寫出切線方程.
(2)根據(jù)是函數(shù)與的公共極值點,則有,解得,令,用導數(shù)法研究只有一個零點即可.
(3)根據(jù)在上無零點,分當a=0,b≠0, ,三種情況討論求解.
(1)因為,
所以,,,,
故在x=1處的切線方程為:;
(2),,
由題意知,解得,
令,x>0,,
時,;時,,
故在遞減,遞增,
又時,,故在(0,1)上無零點,
,,故,
又在遞增,因此,在(1,e)上存在唯一零點,
∴存在且唯一;
(3)由題意知:在上無零點
當a=0時,則b≠0,,符合題意;
又,則b(a+b)>0,故b≠0.
當a≠0時,要使在上無零點,顯然ab>0
在上恒成立,
即在上恒成立,
令,,,
時,時,,
時,,,故,
因此,時,,與題意不符,舍去;
時,時,,
時,,,故,
因此,時,,與題意不符,舍去;
綜上,存在a=0,b≠0符合題意.
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【題目】如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,側(cè)面是邊長為2的正三角形, , .
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)設(shè)是棱上的點,當平面時,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)有編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個小球和編號為1,2,3,4,5,6,7,8的八個盒子.現(xiàn)將這八個小球隨機放入八個盒子內(nèi),要求每個盒子內(nèi)放一個球,要求編號為偶數(shù)的小球在編號為偶數(shù)的盒子內(nèi),且至少有四個小球在相同編號的盒子內(nèi),則一共有______種投放方法.
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【題目】如圖,已知圓Q:(x+2)2+(y-2)2=1,拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線l與拋物線C交于A,B兩點,過F且與l垂直的直線l'與圓Q有交點.
(1)求直線l'的斜率的取值范圍;
(2)求△AOB面積的取值范圍.
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【題目】若=(,),=(,),設(shè).
(1)求函數(shù)在[0,π]上的單調(diào)減區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,求sinB的值.
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【題目】某印刷廠為了研究印刷單冊書籍的成本(單位:元)與印刷冊數(shù)(單位:千冊)之間的關(guān)系,在印制某種書籍時進行了統(tǒng)計,相關(guān)數(shù)據(jù)見下表.
印刷冊數(shù)(千冊) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
單冊成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到了兩個回歸方程,方程甲:,方程乙:.
(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù).
(i)完成下表(計算結(jié)果精確到0.1);
印刷冊數(shù)(千冊) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
單冊成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估計值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
殘差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估計值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
殘差 | 0.1 | 0 | 0 |
(ii)分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和和,并通過比較,的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.
(2)該書上市之后,受到廣大讀者熱烈歡迎,不久便全部售罄,于是印刷廠決定進行二次印刷.根據(jù)市場調(diào)查,新需求量為10千冊,若印刷廠以每冊5元的價格將書籍出售給訂貨商,試估計印刷廠二次印刷獲得的利潤.(按(1)中擬合效果較好的模型計算印刷單冊書的成本)
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【題目】已知橢圓的中心為,左、右焦點分別為、,上頂點為,右頂點為,且、、成等比數(shù)列.
(1)求橢圓的離心率;
(2)判斷的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.
(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.
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