Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞O）上的最小值；
（9）對一切的x∈（O，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導數(shù)的運算法則可得f′（x）=lnx+1（x＞0），分別解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于t分類討論：當0＜t＜

1

e

時，當

1

e

≤t時，利用導數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出；
（3）g′（x）=3x²+2ax-1．對一切的x∈（O，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立?對一切的x∈（O，+∞），a≥(lnx-

3

2

x-

1

2x

)max．
令h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，x∈（O，+∞），再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
當x∈(0，

1

e

)時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當x∈(

1

e

，+∞)時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

e

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

e

)．
（2）對于t分類討論：
①當0＜t＜

1

e

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，

1

e

)上單調(diào)遞減；函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

e

，t+2]上單調(diào)遞增．
因此當x=

1

e

時，函數(shù)f（x）取得最小值，f(

1

e

)=-

1

e

．
②當

1

e

≤t時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，

1

e

+2]上單調(diào)遞增，因此當x=

1

e

時，函數(shù)f（x）取得最小值，f(

1

e

)=-

1

e

．
（3）g′（x）=3x²+2ax-1．
對一切的x∈（O，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立?對一切的x∈（O，+∞），a≥(lnx-

3

2

x-

1

2x

)max．
令h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，x∈（O，+∞），
h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=

-(3x+1)(x-1)

2x2

，
當x＞1時，．h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當0＜x＜1時，．h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴當x=1時，函數(shù)h（x）取得最大值，h（1）=0-

3

2

-

1

2

=-2．
∴a≥-2．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．