Question

已知點(diǎn)P是圓x²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿足條件的點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）且斜率為k₁（k₁≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA的斜率為k₂，求k₁²+k₂²的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，y₀）．
由，得x=2x₀，y=y₀，即．
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x²+y²=1上，把點(diǎn)P代入圓x²+y²=1 可得 ，故點(diǎn)M的軌跡C的方程為．
（2）由題設(shè)知，直線l的方程為y=k₁（x-1），由，
得，其中，△=64k₁⁴-4（4k₁²+1）（4k₁²-4）=16（3k₁²+1）＞0．
設(shè)直線l與曲線C的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則，所以，．
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故 的最小值是．
分析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由，得x=2x₀，y=y₀，把點(diǎn)P坐標(biāo)（x₀，y₀）代入圓x²+y²=1 消去x₀，y₀ 可得M的軌跡C的方程．
（2）設(shè)出直線l的方程為y=k₁（x-1），代入橢圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)，得到，代入要求的式子利用基本不等式求得最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，
得到 是解題的關(guān)鍵．