Question

18．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．平面區(qū)域W由所有滿足${A_1}P≤\sqrt{5}$的點(diǎn)P組成，則W的面積是$\frac{π}{4}$；四面體P-A₁BC的體積的最大值是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得平面區(qū)域W是以A為圓心，以1為半徑的$\frac{1}{4}$圓面，由圓的面積公式求得W的面積；由題意可得，當(dāng)p在邊AD上時(shí)，四面體P-A₁BC的體積有最大值，再由棱錐體積公式求解．

解答 解：連接AP，則A₁A⊥AP，
∵A₁A=2，${A}_{1}P=\sqrt{5}$，∴AP=1，
以A為圓心，以1為半徑作圓交正方形ABCD所得$\frac{1}{4}$圓，
∴W的面積是$\frac{1}{4}×π×{1}^{2}=\frac{π}{4}$；
由題意可知，當(dāng)p在邊AD上時(shí)，四面體P-A₁BC的體積的最大值是$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$；$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．