Question

已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線方程是y=±

1

2

x．過點(diǎn)P（-4，0）作斜率為

1

4

的直線l，使得l和G交于A，B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段AB上，并且滿足|PA|•|PB|=|PC|²，求雙曲線G的方程．

Answer 1

分析：先根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線的方程為x²-4y²=λ，再求出直線l的方程代入雙曲線方程，得x₁+x₂，x₁x₂，最后將|PA|•|PB|=|PC|²等價(jià)為（x₁+4）•（x₂+4）+y₁y₂=-17，列方程求出λ即可

解答：解：設(shè)所求雙曲線方程為（x+2y）（x-2y）=λ，即x²-4y²=λ  （λ≠0）
∵直線l點(diǎn)P（-4，0）作斜率為

1

4

，∴直線方程為y=

1

4

x+1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（0，1），∴

PA

=（x₁+4，y₁），

PB

=（x₂+4，y₂）
聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，

y= 1 4 x+1 x2-4y2=λ

，3x²-8x-16-4λ=0
得，x₁+x₂=

8

3

，x₁x₂=

-16-4λ

3

  ①
∵|PA|•|PB|=|PC|²，∴

PA

•

PB

=-17
即（x₁+4）•（x₂+4）+y₁y₂=-17
即（x₁+4）•（x₂+4）+（

1

4

x₁+1）•（

1

4

x₂+1）=-17
即x₁x₂+4（x₁+x₂）=-32   ②
將①代入②解得λ=28
故雙曲線方程為x²-4y²=28

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的關(guān)系等知識(shí)，解題時(shí)要學(xué)會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)會(huì)運(yùn)用韋達(dá)定理解決問題．