Question

已知復數(shù)z₁=a-4i，z₂=8+6i，

z1

z2

為純虛數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求復數(shù)z₁的平方根．

Answer 1

考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（Ⅰ）由條件利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質，求得

z1

z2

=

8a-24-(32+6a)i

100

為純虛數(shù)，由此求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得復數(shù)z₁=3-4i，設z₁的平方根為a+bi，a、b∈R，則3-4i=a²-b²+2abi，利用兩個復數(shù)相等的充要條件，求出a、b的值，可得z₁的平方根．

解答： 解：（Ⅰ）∵復數(shù)z₁=a-4i，z₂=8+6i，

z1

z2

=

a-4i

8+6i

=

(a-4i)(8-6i)

(8+6i)(8-6i)

=

8a-24-(32+6a)i

100

 為純虛數(shù)，
∴8a-24=0，且 32+6a≠0，∴a=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得復數(shù)z₁=a-4i=3-4i，設z₁的平方根為a+bi，a、b∈R，
則3-4i=a²-b²+2abi，∴a²-b²=3，2ab=-4．
解得

a=2 b=-1

，或

a=-2 b=1

，
∴z₁的平方根為2-i，或-2+i．

點評：本題主要考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質，求一個復數(shù)的平方根，兩個復數(shù)相等的充要條件，屬于及撤退．