Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，解析式為f（x）=

2x+3

x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）用定義證明f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的奇偶性解函數(shù)的解析式，步驟是固定的；
（Ⅱ）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結(jié)論．

解答： 解：（I）設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f(-x)=

-2x+3

-x+1

…（2分）
又∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)=

-2x+3

-x+1

，
∴f(x)=

-2x+3

x-1

…（4分）
又∵奇函數(shù)在0點有意義，
∴f（0）=0…（5分）
∴函數(shù)的解析式為f（x）=

-2x+3 x-1 ，x＜0 0，x=0 2x+3 x+1 ，x＞0

…（7分）
（II）設(shè)?x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂…（8分）
則f(x1)-f(x2)=

2x1+3

x1+1

-

2x2+3

x2+1

= (2x1+3)(x2+1)-(2x2+3)(x1+1) (x1+1)(x2+1) = -x1+x2 (x1+1)(x2+1)

…（9分）
∵x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0…（12分）
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．…（14分）

點評：本題考查了借助函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式及函數(shù)單調(diào)性的證明，屬于基礎(chǔ)題．