Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，且對于定義域內(nèi)的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）
（1）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)數(shù)；
（2）若f（）=-1，求滿足不等式f（x）-f（）＞2的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則＞1，
∴f（）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（•x₁）=f（x₁）-f（）-f（x₁）=-f（）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）令x=，y=1得，f（×1）=f（）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=得，f（1）=f（3×）=f（3）+f（），
∵f（）=-1，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（）＞f（9），f（x）＞f（）
∴，
解得x＞1+．
∴x的取值范圍為（1+，+∞）
分析：（1）由f（x•y）=f（x）+f（y），知f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），由此能求出f（1）．設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則＞1，故f（）＞0，由此導(dǎo)出f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（•x₁）=-f（）＜0，從而能夠證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）令x=，y=1，得f（1）=0．令x=3，y=，得f（3）=1．令x=y=3，得f（9）=2，故f（x）-f（）≥f（9），f（x）≥f（），由此能求出x的范圍．
點評：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，綜合性強，難度大，對數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．