Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，S₃=12．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 令bn=an•3n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知變形可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，又可得公差，結(jié)合首項(xiàng)可得通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=2n•3n，符合錯(cuò)位相減法求和的特征，下面由錯(cuò)位相減法即可的答案．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n
∴{a_n+1-a_n}為常數(shù)列，∴{a_n}是以a₁為首項(xiàng)的等差數(shù)列
∵a₁=2，a₁+a₂+a₃=12∴3a₁+3d=12，即d=2
∴a_n=2+（n-1）•2=2n．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=2n•3n
∴其前n項(xiàng)和Tn=2•3+4•32+6•33+…+2n•3n①
同乘以3得，3Tn=2•32+4•33+6•34+…+2n•3n+1②
①-②得-2Tn=2•3+2•32+2•33+…+2•3n-2n•3n+1
=

6(1-3n)

1-3

-2n•3n+1
∴Tn=

3-3n+1

2

+n•3n+1=

3

2

+(n-

1

2

)3n+1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列的通項(xiàng)和求和的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定以及錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題．