Question

若a∈[1，4]，b∈[0，3]，則方程ax²+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的概率為

2ln2

9

．

Answer 1

分析：在aob坐標(biāo)系中作出

1≤a≤4 0≤b≤3

表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的矩形ABCD，算出其面積為S=9．利用根的判別式算出當(dāng)方程ax²+2x+b=0有實(shí)數(shù)解時b＜

1

a

，由積分公式算出相應(yīng)的面積為S'=2ln2，根據(jù)幾何概型公式即可算出原方程有實(shí)數(shù)解的概率．

解答：解：∵a∈[1，4]，b∈[0，3]，
∴在aob坐標(biāo)系中，作出

1≤a≤4 0≤b≤3

表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的矩形ABCD．
其中A（1，3），B（4，3），C（4，0），D（1，0），
可得矩形ABCD的面積S=AB•BC=3×3=9．
若方程ax²+2x+b=0有實(shí)數(shù)解，
則△=4-4ab≥0，可得b＜

1

a

．
對應(yīng)的圖形面積為S'=

∫

4 1

1

a

da=lna

|

4 1

=ln4=2ln2，
由此可得所求概率為P=

S′

S

=

2ln2

9

．
故答案為：

2ln2

9

點(diǎn)評：本題著重考查了一元二次方程根的判別式、積分計(jì)算公式和定積分的幾何意義和幾何概型計(jì)算公式等知識，屬于中檔題．