Question

無窮數列{a_n}的前n項和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．S₁₀=45．
（1）求p的值；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）作函數f（x）=a₂x+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，證明：f（

1

3

）＜

3

4

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）令n=1，則a₁=pa₁，所以p=1或a₁=0，假設p=1，再令n=2，得a₁=a₂，這與題目a₁≠a₂矛盾，所以必有a₁=0，p≠1，a₂≠0，由此能求出p=

1

2

．
（2）由Sn=

n

2

an，Sn-1=

n-1

2

an-1，兩式相減得：

an

an-1

=

n-1

n-2

(n≥3)，采用累乘法能求出{a_n}的通項公式．
（3）由已知得f(

1

3

)=

1

3

+2×（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+…+n×（

1

3

）ⁿ，由此利用錯位相減法能證明f(

1

3

)＜

3

4

．

解答： （1）解：令n=1，則a₁=pa₁，所以p=1或a₁=0
假設p=1，再令n=2，則a₁+a₂=2a₂，
于是有a₁=a₂，這與題目a₁≠a₂矛盾，
所以必有a₁=0，p≠1，a₂≠0
下面重新令n=2，則a₁+a₂=2pa₂，
由于a₁=0，a₂≠0，所以p=

1

2

．
（2）解：Sn=

n

2

an，Sn-1=

n-1

2

an-1，
以上兩式相減得：an=

n

2

an-

n-1

2

an-1(n≥2)，
即：

an

an-1

=

n-1

n-2

(n≥3)，
采用累乘法，得：an=(n-1)a2(n∈N*)，
又因為S₁₀=45，所以a₁₀=9，
從而a₂=1，故an=n-1(n∈N*)．
（3）證明：函數f（x）=a₂x+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，
∴f(

1

3

)=

1

3

+2×（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+…+n×（

1

3

）ⁿ，①

1

3

f(

1

3

)=(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+3×(

1

3

)4+…+n×(

1

3

)n+1，②
①-②，得：

2

3

f(

1

3

)=

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-n×(

1

3

)n+1
=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-n×(

1

3

)n+1，
∴f(

1

3

)=

3

4

-

2n+3

4×3n

，
∴f(

1

3

)＜

3

4

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．