Question

（06年天津卷理）（14分）

如圖，以橢圓的中心O為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A。連結(jié)OA交小圓于點(diǎn)B。設(shè)直線BF是小圓的切線。

  

（I）證明并求直線BF與同的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（II）設(shè)直線BF交橢圓P、Q兩點(diǎn)，證明

Answer 1

解析：（I）證明：由題設(shè)條件知，故

                     即

       因此，　　　　①

       在中，

       于是，直線OA的斜率設(shè)直線BF的斜率為則

                    

       這時(shí)，直線BF的方程為令則

       所以直線BF與軸的交點(diǎn)為

 

（II）證明：由（I），得直線的方程為且

                     　　　　　�、�

       由已知，設(shè)、則它們的坐標(biāo)滿足方程組

                     　　　　　　　�、�

       由方程組③消去并整理得

                     　　　④

       由式①、②和④，

                    

       由方程組③消去并整理得

                     　�、�

       由式②和⑤，

                    

       綜上，得到

                    

       注意到得

                    

　　　　　　　　　

【高考考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)　直線方程　平面向量　曲線和方程的關(guān)系

【易錯(cuò)點(diǎn)】：不能找出隱含條件結(jié)合完成第一問(wèn)證明，第二問(wèn)到的計(jì)算及向結(jié)論的化簡(jiǎn)過(guò)程

【備考提示】：掌握橢圓的幾何性質(zhì)，善于找出已知中的隱含條件是解決此題的關(guān)鍵