Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）
（1）若a=2，x∈[0，3]，求F（x）值域；
（2）若a＞2，解關(guān)于x的不等式F（x）≥0．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）將a=2代入F（x），然后分類討論去絕對值號，分段求值．
（2）先得到不等式，然后分x≥1和x＜1兩類討論解不等式．

解答： 解：∵f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，
∴F（x）=f（x）-g（x）=x²-1-a|x-1|，
（1）若a=2，F(xiàn)（x）=x²-1-2|x-1|，x∈[0，3]，
則當x∈[0，1），即x-1＜0時，F(xiàn)（x）=x²-1-2（1-x）=x²+2x-3為二次函數(shù)，在[0，1]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）∈[-3，0），
當x∈[1，3]即x-1≥0時，F(xiàn)（x）=x²-1-2（x-1）=x²-2x+1為二次函數(shù)，在[1，3]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）∈[0，4]，
綜上，x∈[0，3]，F(xiàn)（x）值域為[-3，0）∪[0，4]=[-3，4]
（2）F（x）=x²-1-a|x-1|，
當a＞2時，F(xiàn)（x）≥0得不等立式x²-1-a|x-1|≥0，
當x=1時，F(xiàn)（x）=0，不等式成立，
當x＞1時，F(xiàn)（x）≥0即為x²-1-a（x-1）≥0
   化簡得（x-1）（x+1-a）≥0，
     則x≥a-1
又∵a＞2，
∴a-1＞1，
∴x≥a-1；
當x＜1時，F(xiàn)（x）≥0即為x²-1+a（x-1）≥0，
    化簡得（x-1）（x+1+a）≥0，
    則x≤-a-1
又∵a＞2，
∴-a-1＜-3
∴x≤-a-1，
綜上，若a＞2，關(guān)于x的不等式F（x）≥0的解集為{x|x≥a-1，x=1或x≤-a-1}．

點評：解題的關(guān)鍵在兩點，一是去絕對值號，二是對參數(shù)a的理解．