Question

已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，側面SAB為正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2．如圖所示．
（1）證明：SD⊥平面SAB；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積V_S-ABCD．

Answer 1

（1）證明：∵直角梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，側面SAB為正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2，
∴BD=2，AD=2．
∴在△DSA和△DSB中，有SA²+SD²=4²+2²=AD²，SB²+SD²=4²+2²=BD²．
∴SD⊥SA，SD⊥SB
∵SA∩SB=S．
∴SD⊥平面SAB；
（2）解：設頂點S到底面ABCD的距離為h．結合幾何體，可知V_D-SAB=V_S-ABD．
又=4，，
于是，，解得h=．
所以四棱錐S-ABCD的體積V_S-ABCD=×=4．
分析：（1）證明線面垂直，利用線面垂直的判定定理，證明SD⊥SA，SD⊥SB即可；
（2）利用等體積，計算頂點S到底面ABCD的距離，再計算四棱錐S-ABCD的體積．
點評：本題考查線面垂直，考查體積的計算，解題的關鍵是利用線面垂直的判定定理，正確運用體積公式．