Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

5

，且當n＞1，n∈N^*時，有a_n-1-a_n-4a_n-1a_n=0，
（1）求證：數(shù)列 { 

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）試問a₁a₂是否是數(shù)列 {a_n}中的項？如果是，是第幾項；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時a_n-1-a_n-4 a_n-1 a_n=0，兩邊同除以a_n-1 a_n，可得

1

an

-

1

an-1

=4，即

1

an

-

1

an-1

=4，從而可證{

1

an

}是以

1

a1

=5為首項，4為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可求數(shù)列的通項公式a_n=

1

4n+1

，從而a₁a₂=

1

5

×

1

9

=

1

45

，進而可判斷a₁a₂是數(shù)列{a_n}的第11項．

解答：（1）證明：很顯然，數(shù)列中的各項均不為0
當n≥2時，a_n-1-a_n-4 a_n-1 a_n=0，兩邊同除以a_n-1 a_n
得

1

an

-

1

an-1

=4，即

1

an

-

1

an-1

=4
對n＞1，n∈N^*成立，
∴{

1

an

}是以

1

a1

=5為首項，4為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）得

1

an

=

1

a1

+（n-1）d=4n+1，
∴a_n=

1

4n+1

，
∴a₁a₂=

1

5

×

1

9

=

1

45

．
設(shè)a₁a₂是數(shù)列{a_n}的第t項，
則

1

4t+1

=

1

45

，
解得t=11∈N^*．
∴a₁a₂是數(shù)列{a_n}的第11項．

點評：本題考查的重點是等差數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵是將數(shù)列遞推式變形．