Question

已知函數(shù)f（x）=

mx+n

1+x2

是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=

1

2

（1）求實數(shù)m，n的值；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）試畫出函數(shù) y=f（x）草圖．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，確定n的值，利用f（1）=

1

2

，可求m的值；
（2）設(shè)定義域內(nèi)的自變量x₁、x₂滿足x₁＜x₂，將相應(yīng)函數(shù)值作差變形得f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，討論符號得出f（x₁）＜f（x₂），從而得出函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）作出函數(shù)在（0，+∞）上的圖象，再由函數(shù)為奇函數(shù)，即可得到函數(shù)的草圖．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

mx+n

1+x2

是定義在R上的奇函數(shù)，
∴對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（-x）=-f（x）
即

-mx+n

1+x2

=-

mx+n

1+x2

，∴-mx+n=-mx-n恒成立，∴n=0
又∵f（1）=

1

2

∴

m×1

1+12

=

1

2

，解得m=1
綜上m=1，n=0；
（2）由（1）知，f（x）=

x

1+x2

，
任取x₁、x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵x₁、x₂∈（-1，1），故1-x₁x₂＞0，1+x12＞0，1+ x22＞0，
∵x₁＜x₂ 故x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）函數(shù) y=f（x）的草圖，如圖所示：

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求解，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．