【題目】在正方體中， 、分別是、的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)求異面直線與所成角的大小 (結(jié)果用反三角函數(shù)值表示) .

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：先證其是平行四邊形，再根據(jù)空間向量模相等說(shuō)明鄰邊相等即可；（2）可得，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則, , ,

,

所以,即且,故四邊形是平行四邊形

又因?yàn)?/span>,所以

故平行四邊形是菱形

(2)因?yàn)?/span>

設(shè)異面直線與所成的角的大小為

所以, 故異面直線與所成的角的大小為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查異面直線所成的角以及空間向量的應(yīng)用，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓E：=1（a＞b＞0）的焦距為2 ， 且該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）分別作斜率為k1 ， k2的兩條直線，兩直線分別與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線MN與y軸垂直時(shí)，求k1k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工某零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此做了四次實(shí)驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表：

零件的個(gè)數(shù)x（個(gè)）

2

3

4

5

加工的時(shí)間y（小時(shí)）

2.5

3

4

4.5


（1）在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程y= x+ ，并在坐標(biāo)系中畫(huà)出回歸直線；
（3）試預(yù)測(cè)加工6個(gè)零件需要多少時(shí)間？
（注： = ， = ﹣ ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足 ．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+2sinα（α∈（0，））的導(dǎo)函數(shù)f′（x），若存在x0＜1使得f′（x0）=f（x0）成立，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為（　�。�
A.（ ， ）
B.（0，）
C.（ ， ）
D.（0，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (其中， ).

(1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；

(3)當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)，都有.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率．以?xún)蓚�(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為8，面積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線的方程為，求證：直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】直三棱柱中，底面為等腰直角三角形， ， ， ， 是側(cè)棱上一點(diǎn)，設(shè)．

(1) 若，求的值；

(2) 若，求直線與平面所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以Z表示．

（1）如果Z=8，求乙組同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)的平均數(shù)和方差；
（2）如果Z=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19的概率．

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