Question

已知

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，M、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線PM、PN的斜率分別為k₁、k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值為1，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  2

  4

• C、

  3

  4

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)P（acosβ，bsinβ），M（acosα，bsinα），因?yàn)镸、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，則N（-acosα，-bsinα），進(jìn)而由斜率公式表示出k₁、k₂的值，計(jì)算可得k₁•k₂的值，由基本不等式，可得|k₁|+|k₂|的最小值為2

k1•k2

，結(jié)合題意，|k₁|+|k₂|的最小值為1，得到

2b

a

=1，計(jì)算可得答案．

解答：解：設(shè)P（acosβ，bsinβ），M（acosα，bsinα），則N（-acosα，-bsinα），
可得k1=

b(sinβ-sinα)

a(cosβ-cosα)

，k2=

b(sinβ+sinα)

a(cosβ+cosα)

，
|k1|•|k2|=|

b2(sin2β-sin2α)

a2(cos2β-cos2α)

|=

b2

a2

，
∴|k1|+|k2|≥2

|k1k2|

=

2b

a

?

2b

a

=1?e=

3

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的有關(guān)性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算與不等式的有關(guān)知識(shí)，有一定的難度，注意加強(qiáng)訓(xùn)練．