Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)y=g（x）的圖象在點(diǎn)P（-1，1）處的切線方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集為P，且（0，+∞）⊆P，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)得g'（x）＜0的解集為（-，1）即g'（x）=0方程的兩個(gè)解是-，1將兩個(gè)解代入到方程中求出a的值可得到g（x）的解析式；
（Ⅱ）由g'（-1）=4得到直線的斜率，直線過(guò)（-1，1），則寫出直線方程即可；
（Ⅲ）把f（x）和g'（x）代入到不等式中解出a≥lnx-x-，設(shè)h（x）=lnx--，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的增減性求出h（x）的最大值即可得到a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）g'（x）=3x²+2ax-1，由題意3x²+2ax-1＜0的解集是（-，1）
即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-，1
將x=1或-代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g'（x）=3x²-2x-1，
∴g'（-1）=4，
∴點(diǎn)P（-1，1）處的切線斜率k=g'（-1）=4，
∴函數(shù)y=g（x）的圖象在點(diǎn)P（-1，1）處的切線方程為：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．
（Ⅲ）∵（0，+∞）⊆P，
∴2f（x）≤g'（x）+2即：2xlnx≤3x²+2ax+1對(duì)x∈（0，+∞）上恒成立可得
a≥lnx-x-對(duì)x∈（0，+∞）上恒成立．
設(shè)h（x）=lnx--，則h′（x）=-+=-
令h′（x）=0，得x=1，x=-（舍）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2．
∴a≥-2，
∴a的取值范圍是[-2，+∞）
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力，以及會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件．