Question

已知橢圓，拋物線：x²=a²y．直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點(diǎn)F且與拋物線相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A，B為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，l₁，l₂分別與拋物線相切于A，B，l₁，l₂相交于C點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為D，求證：直線CD與x軸垂直．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，設(shè)切點(diǎn)，利用直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點(diǎn)F且與拋物線相切，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求得拋物線在A、B處的切線方程兩式相減，證明x_C=x_D，即可證得直線CD與x軸垂直．
解答：（1）解：由題意，∵x²=a²y，∴y=，∴y′=
設(shè)切點(diǎn)為（x，），則，解得x=2，a²=4
∵直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點(diǎn)F，
∴c=1，可得b²=3
∴橢圓方程為
（2）證明：拋物線方程為：x²=4y，設(shè)A（x₁，），B（x₂，）（x₁≠x₂）
拋物線在A處的切線為y=，在B處的切線為y=
兩式相減可得=
∴，即
∵D為AB的中點(diǎn)，∴
∴x_C=x_D
∴直線CD與x軸垂直．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的切線，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定切線的斜率與方程，屬于中檔題．