Question

10．某市公租房的房源位于A，B，C，D四個片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，在該市的甲、乙、丙三位申請人中：
（1）求恰有1人申請A片區(qū)房源的概率；
（2）用x表示選擇A片區(qū)的人數(shù)，求x的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）求出實驗發(fā)生包含的事件是3位申請人中，滿足條件的所有事件有4³種結(jié)果．恰有1人申請A片區(qū)房源結(jié)果，然后求解概率．
（2）ξ的所有可能結(jié)果為0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列然后求解期望即可．

解答 解：（1）本題是一個等可能事件的概率，實驗發(fā)生包含的事件是3位申請人中，
每一個有四種選擇，共有4³種結(jié)果．
滿足條件的事件恰有1人申請A片區(qū)房源有$C_3^1•{3^2}$，
根據(jù)等可能事件的概率$p=\frac{{c_3^1{3^2}}}{4^3}=\frac{27}{64}$．
（2）ξ的所有可能結(jié)果為0，1，2，3，依題意，$p（{ξ=0}）=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}$，$p（{ξ=1}）=\frac{{c_3^1•{3^2}}}{4^3}=\frac{27}{64}$，$p（{ξ=2}）=\frac{c_3^2•3}{4^3}=\frac{9}{64}$，$p（{ξ=3}）=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}$，
∴X的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴ξ的數(shù)學期望：${E_ξ}=0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{3}{4}$．
法2：每個片區(qū)被申請的概率均為$\frac{1}{4}$，沒被選中的概率均為$\frac{3}{4}$，ξ的所有可能結(jié)果為0，1，2，3，
且ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），$p（{ξ=0}）={（{\frac{3}{4}}）^3}=\frac{27}{64}$，$p（{ξ=1}）=C_3^1•\frac{1}{4}•{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{27}{64}$，$p（{ξ=2}）=C_3^2•{（{\frac{1}{4}}）^2}•\frac{3}{4}=\frac{9}{64}$，$p（{ξ=3}）={（{\frac{1}{4}}）^3}=\frac{1}{64}$，
∴X的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴X的數(shù)學期望：$Eξ=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．（Eξ=1×$\frac{27}{64}$$+2×\frac{9}{64}$$+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$）．

點評 本題考查概率的求法，二項分布的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．