Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：2x-y+3+8和圓C₁：x²+y²+8x+F=0．若直線l被圓C₁截得的弦長為2．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設(shè)圓C₁和x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C₁上不同于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB交y軸于M、N點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓C₂是否經(jīng)過圓C₁內(nèi)一定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）若△RST的頂點(diǎn)R在直線x=-1上，S、T在圓C₁上，且直線RS過圓心C₁，∠SRT=30°，求點(diǎn)R的縱坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離即為弦心距，然后根據(jù)垂徑定理及勾股定理利用圓的半徑及弦心距列出方程，即可求出F，得到圓的方程；
（2）先令圓方程中y=0分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出直線PA和PB的斜率，然后寫出直線PA和PB的方程，分別令直線方程中y=0求出M與N的坐標(biāo)，因?yàn)镸N為圓C₂的直徑，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出圓心的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出MN，得到圓的半徑為MN，寫出圓C₂的方程，化簡后，令y=0求出圓C₂過一定點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式判斷出此點(diǎn)在圓C₁的內(nèi)部，得證；
（3）設(shè)出R的坐標(biāo)，作C₁F⊥RT于H，設(shè)C₁H=d，由題意可知d小于等于半徑2，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一般，所以C₁R小于等于4，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出C₁R，列出不等式即可求出點(diǎn)R縱坐標(biāo)的范圍．
解答：解：（1）圓C₁：（x+4）²+y²=16-F，
則圓心（-4，0）到直線2x-y+3+8的距離d=
根據(jù)垂徑定理及勾股定理得：+（）²=16-F，F(xiàn)=12
∴圓C₁的方程為（x+4）²+y²=4；
（2）令圓的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，則A（-6，0），B（-2，0）
設(shè)P（x，y）（y≠0），則（x+4）²+y²=4，得到（x+4）²-4=-y²①
∴k_PA=則l_PA：y=（x+6），M（0，）
∴則l_PB：y=（x+2），N（0，）
圓C₂的方程為x²+（y-）²=（）²
完全平方式展開并合并得：x²+y²-2（）y+=0
將①代入化簡得x²+y²-2（）y=0，
令y=0，得x=±2，
又點(diǎn)Q（-2，0），
由Q到圓C₁的圓心（-4，0）的距離d==4-2＜2，則點(diǎn)Q在圓C₁內(nèi)，
所以當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓C₂經(jīng)過圓C₁內(nèi)一定點(diǎn)（-2，0）；
（3）設(shè)R（-1，t），作C₁F⊥RT于H，設(shè)C₁H=d，
由于∠C₁RH=30°，∴RC₁=2d，
由題得d≤2，
∴RC₁≤4，即≤4，∴-≤t≤，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的范圍為[-，]
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用垂徑定理及勾股定理化簡求值，會(huì)根據(jù)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)求出圓的方程以及掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判別方法，靈活運(yùn)用30°的直角三角形的邊的關(guān)系及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，是一道比較難的題．