Question

2．某投資公司現(xiàn)提供兩種一年期投資理財方案，一年后投資盈虧的情況如表：

投資股市	獲利40%	不賠不賺	虧損20%	購買基金	獲利20%	不賠不賺	虧損10%
概率P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	概率P	p	$\frac{1}{3}$	q

（ I）甲、乙兩人在投資顧問的建議下分別選擇“投資股市”和“購買基金”，若一年后他們中至少有一人盈利的概率大于$\frac{4}{5}$，求p的取值范圍；
（ II）某人現(xiàn)有10萬元資金，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選出一種，若購買基金現(xiàn)階段分析出$p=\frac{1}{2}$，那么選擇何種方案可使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望值較大？

Answer 1

分析 （ I）設(shè)事件A為“甲投資股市且盈利”，事件B為“乙購買基金且盈利”，事件C為“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，則$C=A\overline B∪\overline AB∪AB$，其中A，B相互獨立．利用相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式即可得出概率．
（ II）假設(shè)此人選擇“投資股市”，記ξ為盈利金額（單位萬元），可得ξ的分布列為．假設(shè)此人選擇“購買基金”，記η為盈利金額（單位萬元），可得η的分布列，計算即可比較出大小關(guān)系．

解答 解：（ I）設(shè)事件A為“甲投資股市且盈利”，事件B為“乙購買基金且盈利”，事件C為“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，則$C=A\overline B∪\overline AB∪AB$，其中A，B相互獨立．…2分
因為$P（A）=\frac{1}{2}，P（B）=p$，則$P（C）=P（A\overline B）+P（\overline AB）+P（AB）$，即$P（C）=\frac{1}{2}（1-p）+（1-\frac{1}{2}）p+\frac{1}{2}p=\frac{1}{2}（1+p）$，
由$\frac{1}{2}（1+p）＞\frac{4}{5}$解得$p＞\frac{3}{5}$；…4分
又因為$p+\frac{1}{3}+q=1$且q≥0，所以$p≤\frac{2}{3}$，故$\frac{3}{5}＜p≤\frac{2}{3}$．…6分
（ II）假設(shè)此人選擇“投資股市”，記ξ為盈利金額（單位萬元），則ξ的分布列為：

ξ	4	0	-2
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

則$Eξ=4×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{8}-2×\frac{3}{8}=\frac{5}{4}$；…8分
假設(shè)此人選擇“購買基金”，記η為盈利金額（單位萬元），則η的分布列為：

η	2	0	-1
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

則$Eη=2×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{3}-1×\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$；…10分
因為$\frac{5}{4}＞\frac{5}{6}$，即Eξ＞Eη，所以應(yīng)選擇“投資股市”可使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望值較大．…12分．

點評 本題考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．