Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，設(shè)E，F(xiàn)分別是BD，C₁C的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁C⊥平面BEF；
（2）求二面角A₁-BF-E的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出，，，根據(jù)•=0，•=0可得A₁C⊥BE，A₁C⊥BF，結(jié)合線面垂直的判定定理可得A₁C⊥平面BEF；
（2）由（1）可得=（2，2，-2）是平面BEF的一個(gè)法向量，出平面A₁BF的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A₁-BF-E的大�。�
解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，設(shè)E，F(xiàn)分別是BD，C₁C的中點(diǎn)
∴A（0，0，0），A₁（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，1，0），F(xiàn)（2，2，），
∴=（2，2，-2），=（-1，1，0），=（0，2，），
∵•=0，•=0
∴A₁C⊥BE，A₁C⊥BF，
又∵BE∩BF=B
∴A₁C⊥平面BEF；
（2）由（1）可得=（2，2，-2）是平面BEF的一個(gè)法向量
且=（2，0，-2），
設(shè)向量=（a，b，c）是平面A₁BF的一個(gè)法向量
則
即
令c=2，則=（2，-，2）是平面A₁BF的一個(gè)法向量
令銳二面角A₁-BF-E的平面角為θ
則cosθ===
故二面角A₁-BF-E的大小為arccos
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系及二面角的大小轉(zhuǎn)化為向量垂直及夾角問題是解答的關(guān)鍵．