Question

△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且b=1，c=2，如果△ABC是銳角三角形，則a的取值范圍是

（

3

，

5

）

．

Answer 1

分析：由三角形兩邊之和大于第三邊，解得1＜a＜3．然后分2≤a＜3、1＜a＜2兩種情況確定三角形的最大邊，根據(jù)△ABC是銳角三角形利用余弦定理建立關(guān)于a的不等式，解之得到a的取值范圍，最后加以綜合可得答案．

解答：解：由三角形兩邊之和大于第三邊，得|b-c|＜a＜b+c，可得1＜a＜3，
△ABC是銳角三角形，即三角形的最大角是銳角．
①當(dāng)2≤a＜3時(shí)，由b=1且c=2，可得最大邊為a，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

＞0，即b²+c²-a²＞0，
得1²+2²-a²＞0，解之得2≤a＜

5

；
②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，可得最大邊為c，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，即b²+a²-c²＞0，
得1²+a²-2²＞0，解之得

3

＜a＜2．
綜上所述，可得邊a的取值范圍是（

3

，

5

）．
故答案為：（

3

，

5

）

點(diǎn)評(píng)：本題給出銳角三角形的兩條邊之長，求第三邊的取值范圍．著重考查了用余弦定理解三角形、三角形狀的判斷與不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．